Oficina de Matemática

Uma reflexão sobre um velho dilema da Matemática:

A tabuada deve ser entendida ou memorizada?

Na escola de alguns anos atrás, saber a tabuada “na ponta da língua” era ponto de honra para alunos e professores. Poucos educadores ousavam pôr em dúvida a necessidade desta mecanização.

Na década de 60, porém, veio a Matemática Moderna e com ela algumas tentativas de mudanças aconteceram. Não vamos discutir aqui as características deste movimento, mas, dentre seus aspectos positivos, destacava-se a necessidade da aprendizagem com compreensão.

Com isso, vieram as críticas ao ensino tradicional, entre elas a mecanização da tabuada. Assim, diversas escolas aboliram a memorização da mesma. O professor que obrigasse seus alunos a decorar a tabuada era, muitas vezes, considerado retrógrado.

O argumento usado, contrário à memorização, era basicamente que não se deve obrigar o aluno a decorar a tabuada, mas sim, criar condições para que ele a compreenda. Os defensores dessa nova tendência alegavam que, se o aluno entendesse o significado de multiplicações como 2 x 2, 3 x 8, 5 x 7, etc., quando precisasse, saberia chegar ao resultado.

Alguns professores rebatiam esta afirmação alegando que, sem saber a tabuada de cor, o aluno não poderia realizar multiplicações e divisões. Hoje, ainda, essa discussão está presente entre nós. Porém, apesar das divergências, uma opinião é unânime: deve-se condenar a mecanização pura e simples da tabuada.

Compreender é fundamental. É inconcebível exigir que os alunos recitem: “duas vezes um, dois; duas vezes dois, quatro;…”, sem que tenham entendido o significado do que estão dizendo. Na multiplicação, bem como em todas as outras operações, a noção de número e o sistema de numeração decimal, precisam ser construídos e compreendidos.

Esta construção é o resultado de um trabalho mental por parte do aluno. O termo tabuada é bastante antigo e designa um conjunto de fatos, como por exemplo:
3 x 1 = 3, 3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9, etc.
Esses fatos têm sido chamados, por diversos autores, de fatos fundamentais da multiplicação. Trabalhando com materiais concretos como papel quadriculado, tampinha de garrafa, palitos, explorando jogos e situações diversas, como quantos alunos serão necessários para formar 2 times de futebol, os alunos poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos fundamentais que compõem a tabuada.

Propor aos alunos que descubram quanto dá, por exemplo, 8 x 3. Desenvolver com eles quais são as formas que podem levá-los a encontrar a solução para esta situação. Eles podem obter este resultado através de adições sucessivas:

Mas podem também obter 8 x 3 de outro modo. Como 8 = 5 + 3, podem perceber que:

8 x 3 = 5 x 3 + 3 x 3

Faça-os entender que a multiplicação agiliza o processo de adição e que se eles souberem a tabuada “de cor”, poderão ser mais ágeis ao resolver as operações. Uma vez compreendidos os fatos fundamentais, eles devem ser, aos poucos, memorizados. Para isso, devem-se utilizar jogos variados. Como por exemplo, bingo de tabuada, cálculos mentais e todo tipo de jogos que contribuam para a memorização da tabuada.

A necessidade da memorização justifica-se. A fixação da mesma é importante para que o aluno compreenda e domine algumas técnicas de cálculo. Na exploração de novas ideias matemáticas (frações, geometria, múltiplos, divisores etc), a multiplicação aparecerá com frequência. Se o aluno não tiver memorizado os fatos fundamentais, a cada momento ele perderá tempo construindo a tabuada ou contando nos dedos, desviando sua atenção das novas ideias que estão sendo trabalhadas.

Respondendo então a pergunta que dá título a esta leitura, devemos dizer que o aluno não deve memorizar mecanicamente a tabuada, mas que a memorização é importante sim. Insisto, porém, que esta memorização deve ser precedida pela compreensão. A ênfase do trabalho deve ser posta na construção dos conceitos. A preocupação com a memorização não deve ser obsessiva nem exagerada.

Alguns exemplos de atividades realizadas para memorização da tabuada:

  1. Estudo dos padrões numéricos existentes nos resultados das tabuadas.

a) Tabuada do 6.

6 x 0 = 0

6 x 1 = 6

6 x 2 = 12

6 x 3 = 18

6 x 4 = 24

6 x 5 = 30

6 x 6 = 36

6 x 7 = 42

6 x 8 = 48

6 x 9 = 54

6 x 10 = 60

 

Orientamos o aluno a perceber que os resultados formam uma sequencia numérica crescente de seis em seis (processo das adições sucessivas citado anteriormente), além de destacarmos o padrão que se repete nos resultados (0, 6, 2, 8, 4, 0, 6, 2. …).

b) Tabuada do 9

9 x 0 = 0

9 x 1 = 9

9 x 2 = 18

9 x 3 = 27

9 x 4 = 36

9 x 5 = 45

9 x 6 = 54

9 x 7 = 63

9 x 8 = 7 2

9 x 9 = 81

9 x 10 = 90

Orientamos o aluno a perceber que os resultados formam uma sequencia numérica crescente de nove em nove (processo das adições sucessivas citado anteriormente), além de destacarmos o padrão que se repete nos resultados (unidades formam sequencia crescente de 1 em 1, e dezenas formam sequencia decrescente de 1 em 1.).

 

2. Jogo da Conquista

Os alunos se organizam em duplas, cada um lança dois dados em sua vez, e multiplicam os pontos obtidos. Exemplo: face 3 voltada para cima em um dos dados e face 6 voltada para cima no outro dado.

O aluno irá preencher no tabuleiro quadriculado e retângulo que representa o produto dos dois dados.

 

 

 

 

  1. Construção da tabela de Pitágoras.

Na construção da tabela de Pitágoras exploramos todas as sequencia, seus padrões e inclusive os “quadrados perfeito” que estão destacados na diagonal.

 

 

 

 

 

 

4. Curiosidades com o uso dos próprios dedos

Os dedos e a tabuada do 9*

Associam-se aos dedos de cada mão os números de 1 a 10 começando pelo dedo polegar.

 

 

 

 

 

Para saber o resultado de uma multiplicação por 9, levantam-se os 10 dedos das mãos.

O produto de  vê-se baixando o n-ésimo dedo a contar da esquerda para a direita. Por exemplo,  corresponde a baixar o 4º dedo. Ficam 3 dedos levantados antes do dedo que se baixa, e 6 depois. O que significa 36, que é o resultado pretendido, como se observa na figura seguinte.

 

 

 

 

 

Do mesmo modo se faz para , como ilustra a imagem.

 

 

 

 

 

 

Mas, porque é que isto se verifica?

Baixando o n-ésimo dedo, ficavam então  dedos levantados à esquerda, o número das dezenas, e 10-n dedos levantados à direita, o número das unidades. Então,

 

 

*PARA SABER MAIS: http://matematica.com.sapo.pt/contar2.htm

 

Outro dilema: podemos usar os dedos?

A maioria das pessoas aprendeu a contar ainda muito criança e poucas tiveram oportunidade de refletir sobre esse aprendizado. Ele começa com uma espécie de coordenação entre os dedos e certas palavras; logo passamos a associar certos padrões formados por nossos dedos (ou palitos, ou blocos de madeira, ou contas) com certas palavras. Essas palavras são chamadas números, e nós temos de memorizá-las numa série ordenada. Quando os dedos já não são suficientes, aprendemos um processo retórico que nos faz capazes de aumentar os limites de contagem, sem recorrer a novos padrões.

A essa altura, a contagem transformou-se num jogo de palavras. Quando percebemos que o que foi feito uma vez sempre pode ser repetido, completamos a série numérica com um “e assim por diante”. E assim julgamos completada nossa educação sobre contagem, sem ao menos perceber que plantamos na mente a ideia da infinidade. Apesar de dominarmos esse processo desde criança, não há dúvida de que ele se apoia numa ideia matemática bastante complicada.

Essa ideia afirma que qualquer número inteiro positivo só pode ser representado de uma maneira. Tomemos um exemplo: 507.234. Será representado assim: 500.000 mais 7000 mais 200 + 30 + 4, como um polinômio arranjado em potências em potência de 10 (5 x 105 + 7 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 4), com os coeficientes (5,7, 2,3 e 4 no exemplo) restritos a inteiros menores que 10.

Tal sistema foi desenvolvido pelos fenícios muitos séculos antes de nossa era. Eles escreviam o número do nosso exemplo mais ou menos assim: 5c 7m 2c 3d 4. O c representa a centena do milhar, o m a unidade do milhar, ou c as centenas simples, o d as dezenas simples. Nos primeiros séculos de nossa era, um hindu anônimo imaginou o zero para marcar a ausência de qualquer quantidade. E nosso número passou a ser descrito desta forma: 5c, 0d ,7m, 2c, 3d e 4. O d depois do zero significa dezena de milhar. E assim acabou nos dispensando de acrescentar as letras aos números, pois, usando o zero para as casas que ficariam vagas, todos eles passaram a ocupar o lugar correto na ordem que pretendemos representar. Nosso sistema posicional de numeração é decimal: cada unidade colocada em certa ordem vale dez vezes a unidade da ordem imediatamente anterior. O sistema decimal e é aceito universalmente, mas outras bases também são usadas eventualmente. O sistema sexagesimal (base de sessenta) persiste na medida do tempo e dos ângulos. Talvez seja uma herança dos babilônios, grandes astrônomos do passado.

A preferência pelo dez não se baseia em algum mérito especial desse número, mas é apenas uma consequência do acidente fisiológico que nos dotou de dez dedos. Hoje seria insensato pensar em mudar essa base, mas no passado algumas tentativas foram feitas.

Portanto, vimos que o corpo na matemática vem sendo utilizado desde o inicio da contagem humana, por ser a ferramenta de mais fácil acesso e é por isso que o sistema de contagem universal hoje é dado com base no número 10.

O uso do corpo é importante para a criança em fase de “alfabetização matemática” para que haja significação e para que a matemática se torne algo concreto e real dentro do cotidiano da criança, o corpo é usado hoje como ferramenta passageira mas não é errado que a criança o use sempre desde de ela saiba o que significa a conta que ela esta fazendo, e com o tempo a necessidade de usar o corpo para operações e contagens diminui dependendo do ritmo de cada criança.

 

Escola Piaget

Prô Susane Teixeira

Assessoria de Matemática

Oficina de Matemática

Agosto/2014